Simon Donaldson y Clifford Taubes reciben el premio Shaw

El Premio Shawse concede anualmente a científicos que han conseguido resultados muy notables en sus respectivos campos de investogación. Tiene tres modalidades: Astronomía, Ciencias de la Vida y Medicina y Ciencias Matemáticas; cada uno de estos premios conlleva la cantidad de 1 millón de dólares y enfatizan los progresos sociales, la mejora de la calidad de vida y el enriquecimiento de la civilización espiritual de la humanidad.

En 2009, los matemáticos premiados han sido Simon Kirwan Donaldson y Clifford Henry Taubes, por sus extraordinarias contribuciones en el estudo de las variedades de dimensiones 3 y 4. El trabajo se describe a continuación con algo más de detalle.

 

La topología de los variedades de dimensión 4 (una variedad es un espacio topológico que localmente se identifica con un espacio vectorial; son los espacios usados para definir ecuaciones diferenciales y aparecen de modo natural en la Física) ha sido probablemente el ejemplo perfecto de hasta que punto las matemáticas son una aventura. El gran aventurero de esa área ha sido Simon Donaldson. Su lugarteniente en el viaje de exploración que inicio hace ya 30 años es Clifford Taubes. El premio Shaw de este año, dotado con un millón de dolares, reconoce este hecho.

La vida de Donaldson sigue el esquema de una novela de suspense. Nos proponemos en las siguientes páginas ir desvelando las motivaciones de su investigación y explicar como Donaldson ha convertido su vida en una continua exploración y Taubes ha sido el más fiel ejecutor de sus planes.

Simon, el estudiante.

Donaldson, alumno brillante de la Universidad de Cambridge, inicia el doctorado en la Universidad de Oxford en el año 1979. Sus coetáneos le recuerdan como un alumno interesado en todas las áreas de la Matemática. En su primer año de doctorado se inclina por la geometría algebraica. Este tipo de geometría estudia variedades definidas a través de ecuaciones dadas por polinomios (no hay funciones transcendentes). Debido a esto la teoría permite estudiar problemas de clasificación global de objetos, cosa que no ocurre en otras áreas de la matemática. Estos problemas conocidos como problemas de moduli, que en latín significa medida, se preocupan de definir objetos que a su vez parametrizan otros objetos geométricos. En los años 60 David Mumford (también premio Shaw en 2006) había formalizado la teoría bajo el nombre de teoría geometrica de invariantes y había dado el primer ejemplo importante: el espacio de móduli de curvas. Es decir, un espacio cuyos puntos representaban cada una de las curvas que existen. La teoría geométrica de invariantes se reveló muy útil para abordar problemas de móduli en toda la geometría algebraica. La parte más básica y a la vez más profunda es la teoría de fibrados. Los fibrados son los espacios que permiten definir ecuaciones sobre una variedad geométrica y por ello son los bloques básicos para el estudio de las variedades. En los años 70 se construyeron los móduli de fibrados sobre todo tipo de variedades y la teoría se convirtió en una rama floreciente de las matemáticas. El reto era encontrar condiciones que permitiesen definir de modo sencillo el móduli de fibrados. Para el caso de dimensión 1, la respuesta era clara y se basaba en herramientas matemáticas clasicas: la correspondecia de Hitchin-Kobayashi. La correspondencia establece que la ecuación que clasifica los fibrados sobre una curva (dimensión 1) era exactamente la ecuación de Maxwell, es decir la ley física que rige los fenómenos electromagnéticos en la naturaleza. Esta ecuación había dado lugar en las matemáticas de la primera mitad del siglo XX a la teoría de Hodge que permite definir invariantes numéricos que capturan la topología de los objetos de cualquier dimensión.

 

Hitchin parecía una buena opción en Oxford si Simon quería estudiar problemas de moduli. En su primer año, Hitchin, como su tutor,  le propuso algunas preguntas sobre la teoría de móduli de fibrados sobre curvas (dimensión compleja 1). De repente Simon encontró la ecuación para el caso de dimensión compleja 2, uno de los sueños de los geómetras de aquellos años. Pero lo emocionante no fue encontrar la respuesta, sino comprobar cúal era. La ecuación que definía el espacio de moduli de fibrados sobre una superficie era la ecuación de Yang-Mills, que es la ecuación que rige las fuerzas en un átomo. Es decir, la correspondencia de Hitchin-Kobayashi para superficies se convertía en una relación entre dos de las teorías más sofisticadas de la matemática y la física. Hasta ahí, el guión seguía el de una tesis brillante, pero en ese momento Donaldson comenzó a usar los métodos de la geometría algebraica para estudiar la ecuación de Yang-Mills aprovechando el puente que acababa de crear y así cambiar la historia de las matemáticas. La investigación se salía de los cauces de la geometría algebraica, pues la ecuación de Yang-Mills está definida para toda variedad de dimensión 4, y saltaba al mundo casi desconocido de las 4-variedades, es decir los objetos geométricos de dimensión 4. Hitchin quedó deslumbrado y traspasó a su alumno al profesor senior de geometría de Oxford en aquellos años: Michael Atiyah.

Un mundo nuevo

Donaldson explicó su idea a Atiyah. En geometría algebraica el móduli de objetos sobre una variedad permitía dar propiedades de la variedad misma. De otra forma: las soluciones de una ecuación ayudan a entender la forma del espacio en el que la ecuación está definida. En geometría algebraica esto es muy natural debido a la rigidez de los objetos y en cambio, para las ecuaciones en geometría diferencial eso no es en absoluto obvio. Donaldson conjeturó que las ecuaciones de Yang-Mills, que no sólo se podían definir sobre una superficie algebraica, sino sobre toda variedad de dimensión 4 determinaban parte de la geometría del objeto. La prueba se preveía dura y se requería la ayuda de un experto en teoría de Yang-Mills: Clifford Taubes. Éste fue el primero de los muchos encuentros que Donaldson y Taubes han mantenido a lo largo de los años. Con la ayuda de Taubes, Donaldson empezó a estudiar la topología de los objetos de dimensión 4.

La topología había crecido como rama de las matemáticas a lo largo de todo el siglo XX, pero curiosamente los objetos geométricos de los que menos propiedades se conocían eran los de dimensión 3 y 4, es decir los objetos que en la práctica sirven para modelar nuestro universo. La razón es que cuando la dimensión es mayor hay espacio para mover y arrastrar las cosas y es fácil deshacer los líos en los que uno se mete. En dimensión 2 y 1 no hay líos, pero en dimensión 3 y 4 las cosas no se pueden desenredar. Thurston, en los años 70, había explicado cómo debería ser el mundo de los objetos de dimensión 3 con sus famosas conjeturas de la geometrización (por su trabajo, Thurston recibió la medalla Fields en 1982). El dibujo estaba claro y sólo ha sido cuestión de años completar la prueba. Esa ha sido la labor de Perelman en los últimos 10 años y por ella ha recibido la medalla Fields en el año 2006.

Sin embargo, nada se sabía del mundo de los objetos de dimensión 4. No había conjeturas, ni ideas, ni programas de desarrollo: sólo un gran interrogante. Un interrogante que Simon Donaldson se encargó de reventar en 4 años. Entre el 82 y el 86 Donaldson demuestra una serie de teoremas que ya han pasado a la historia de las matemáticas y cuyo denominador común es: en dimensión 4 nada es lo que parece. Para explicar los resultados necesitamos introducir un poco de lenguaje. La estructura básica de una variedad es la topológica: la estructura necesaria para poder definir el concepto de aplicación continua. Para definir el cálculo diferencial (en otras palabras, introducir derivadas) es necesario dotar de una estructura extra a la variedad: la estructura diferenciable. Sobre una variedad topológica es posible definir varias estructuras diferenciables. La pregunta es: ¿cuantas? En dimensión 5 y mayor la respuesta es bien conocida desde finales de los 60. Depende de la variedad particular, pero en cualquier caso es un número finito y siempre hay alguna estructura diferenciable que se puede construir. En dimensión menor o igual que tres la respuesta es que siempre hay una única estructura diferenciable.

Primera sorpresa: hay variedades topológicas de dimensión 4 que no admiten estructura diferenciable. De hecho Donaldson fue capaz de dar una condición puramente topológica para caracterizar las que sí la admitían. Si un invariante topológico, la forma de intersección, era definido entonces debía ser diagonalizable. Pero esto es sólo el principio: el espacio vectorial R4 admite infinitas estructuras diferenciables. Este fenómeno de nuevo sólo ocurre en dimensión 4. Y así podríamos continuar. El resumen es que la relación entre la estructura topológica y diferenciable en dimensión 4 es totalmente salvaje.

En el año 1986 Donaldson recibe la medalla Fields con 29 años. Dedica la segunda mitad de los 80 a formalizar la teoría anterior, definiendo con total generalidad lo que fue conocido más adelante como los invariantes de Donaldson. Taubes publica en esos años una serie de artículos extrayendo más y más consecuencias de los invariantes de Donaldson.

Esta explosión del estudio de las variedades diferenciables de dimensión 4 coincide en el tiempo con el trabajo de Freedman para el caso de variedades topológicas que demuestra que la situación el el caso topológico es completamente distinta y se parece a la de las variedades de dimensión superior. Trabajos por los que también recibió la medalla Fields en el año 86.

Geometría simpléctica y optimismo.

Después de haber destruido todas las ideas preconcebidas sobre la topología de 4-variedades en los años 80, Donaldson dedica el final de esa década a luchar por lo opuesto. Se sabe que toda variedad diferenciable de dimensión 4 se descompone en una serie de bloques básicos, llamados minimales. Los invariantes de Donaldson se hacen triviales en bloques no minimales. Si uno es optimista y pretende acercarse a algo parecido a una clasificación de variedades de dimensión 4 el paso principal es clasificar los bloques minimales. Simon conjeturó dos cosas, ambos falsas, pero el “tour de force” que llevó aparejado la prueba es uno de los más impresionantes de la matemática de la segunda mitad del siglo XX. Primera idea: las variedades minimales de dimensión 4 son simplécticas. Segunda idea: es posible dar una clasificación aproximada de las variedades simplécticas de dimensión 4.

Las variedades simplécticas provienen de la Física. Son los objetos geométricos que modelan los espacio de fases de un problema físico. Se corresponden a una variedad diferenciable en la que uno ha añadido un objeto extra para modelar las ecuaciones de Hamilton, que gobiernan la mecánica clásica. Desde hace más de 40 años sus propiedades geométricas han sido motivo de estudio. Mikhael Gromov probó los primeros resultados importantes en los años 70 cuando empezó a observar que la existencia de la estructura simpléctica en la variedad restringía en cierta medida la topología de la misma.

Afirmar a finales de los 80 que las variedades simplécticas se podían clasificar era casi una broma de mal gusto. Todos y cada uno de los resultados de Gromov de esos años, recogidos en la teoría de curvas pseudo-holomorfas, señalaban la dirección opuesta…. Pero Donaldson empezó a pensar que las variedades simplécticas se parecían a las superficies algebraicas, objetos mucho más rígidos que sí están clasificados desde principios del siglo XX. Más que dar una conjetura explícita Donaldson empezó a desarrollar la herramienta básica para la clasificación de las superficies algebraicas: una teoría de divisores. Un divisor es una curva en una superficie algebraica. La existencia de divisores en una variedad algebraica tiene múltiples consecuencias y es la clave para los teoremas de clasificación de superficies algebraicas: la conocida clasificación de Enriques.

Para desarrollar la teoría hacían falta dos pasos: demostrar que había divisores en una variedad simpléctica y comprobar que se comportaban igual que en geometría algebraica. Taubes demostró lo primero y Donaldson lo segundo. Los divisores debían comportarse de modo “lineal”. Esta linealidad se refleja en el teorema de Donaldson que afirma que definían una estructura denominada pincel de Lefschetz. Esto es una descomposición combinatoria de la variedad en bloques más básicos. El teorema es profundo estableciendo una equivalencia de categorías entre las variedades simplécticas y los pinceles. Este resultado es el final de 10 años de trabajo y apareció publicado en el año 1999. Las consecuencias del teorema han sido múltiples y profundas

Las ideas de Taubes se desarrollan en la década de los 90 en dirección complementaria. Para comenzar la prueba de la existencia de divisores en variedades simplécticas de dimensión 4 Taubes recurre de nuevo a la ideas de Donaldson. La teoría de Yang-Mills desarrollada por Donaldson había desarrollado los invariantes antes mencionados. A través de consideraciones meramente físicas Edward Witten había anunciado otra teoría, las ahora llamadas ecuaciones de Seiberg-Witten, que conjeturalmente debían ser equivalentes a la teoría de Donaldson. La ventaja es que la ecuación era mucho más sencilla. Tan es así que en el otoño del 94 casi todos los resultados de la teoría de Donaldson habían sido redemostrados usando las ecuaciones de Seiberg-Witten. De hecho en tres o cuatro años todas las conjeturas formuladas en los diez años anteriores habían sido probadas. Se sabía que en una variedad algebraica los invariantes de Seiberg-Witten proporcionaban criterios de existencia de divisores. La prueba se basaba en las propiedades de las variedades complejas. Taubes anunció en el año 95 que la misma equivalencia se podía demostrar en el caso simpléctico usando un puente entre la teoría de curvas pseudo-holomorfas de Gromov y los invariantes de Seiberg-Witten. El puente fue construido por Taubes en los siguientes 6 años en más de 700 páginas de cálculos y se puede considerar uno de los resultados técnicamente más complicados de la historia de las matemáticas.

Para rematar, digamos que la clasificación no se consiguió, pero los resultados parciales obtenidos fueron muy numerosos. A continuación, mencionemos algunos:

a) Las superficies algebraicas se dividen tradicionalmente en cuatro familias determinadas por un invariante numérico denominado la dimensión de Kodaira (-1,0,1 y 2). Una conclusión directa de las técnicas de Taubes es que las variedades simplécticas de dimensión de Kodaira -1 y 0 se pueden clasificar (y se han clasificado de hecho en los últimos 10 años). Las otras dos clases son un mundo salvaje.
b) Donaldson ha usado la existencia de pinceles de Lefschetz para realizar cálculos nuevos de invariantes de Seiberg-Witten.
c) Otro conjunto de conjeturas provenientes de la física y que reciben el nombre genérico de Mirror Symmetry han aparecido en los últimos 15 años. Establecen equivalencias entre pares de variedades: una simpléctica y otra algebraica. Van a ser probablemente el motor de la topología diferencial de los próximos 10 años. Estas conjeturas han recibido su formulación más precisa en el lenguaje de los pinceles de Lefschetz introducido por Donaldson. Y han sido desarrolladas por varios de sus alumnos.

Madurez

Los caminos de Taubes y Donaldson han divergido en el siglo XXI. Taubes ha seguido el estudio de los invariantes asociados a 4-variedades.

Para entender el trabajo de Taubes tenemos que señalar que un tercer grupo de invariantes de 4-variedades ha sido introducido en torno al año 2001 por Oswath y Zsabo. El nombre que reciben son la teoría de Heegard-Floer. Sigue la tradición iniciada por Seiberg-Witten. Las ecuaciones de Yang-Mills estudiadas por Donaldson para construir sus invariantes requieren una cantidad de análisis funcional muy elevada. Las ecuaciones de Seiberg-Witten son  más sencillas desde el punto de vista del análisis. Heegard-Floer es el último paso en esta tendencia y es una teoría prácticamente combinatoria.

Taubes ha dedicado los últimos años a construir un puente entre Seiberg-Witten y Heegard-Floer. El objetivo en mente ha sido probar una de las conjeturas más famosas de la geometría simpléctica: la conjetura de Weinstein. Esta conjetura se formula para variedades de dimensión impar. Sus teoremas de equivalencia entre Seiberg-Witten y Heegard-Floer permiten dar una prueba de esta conjetura para el caso de dimensión 3.

Donaldson ha vuelto a relanzar la teoría geometrica de invariantes en geometría algebraica. Recordemos que la primera construcción fue el móduli de curvas en los años 60, después se definieron los móduli de fibrados. El siguiente paso natural fue la construcción de los móduli de superficies. Donaldson ha conjeturado en los últimos 10 años una correspondencia de Hitchin-Kobayashi para este caso. Es decir una ecuación física que define a los elementos del móduli, en este caso las superficies algebraicas. Poco a poco todos los aspectos de la teoría han ido tomando cuerpo. La diferencia es que la ecuación en derivadas parciales que define los elementos del móduli es mucho más complicada que en el caso de fibrados. En este caso es una ecuación en derivadas parciales no-lineal de cuarto orden. Aún así Donaldson la ha resuelto con éxito en múltiples casos y ha dado condiciones geométricas para la existencia de soluciones de la misma.

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Francisco Presas es Científico Titular del CSIC y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas.