El programa del IV PRICIT con acrónimo SIMUMAT, subvencionado por la Comunidad de Madrid, celebra esta semana una serie de eventos todos ellos relacionados con los Problemas Inversos en la Universidad Autónoma de Madrid.  Los Problemas Inversos aparecen en prácticamente todas las ramas de las matemáticas y su presencia en el campo de las ecuaciones en derivadas parciales es cada vez más importante, debido a la variedad de fenómenos que modelan.

    Las aplicaciones cubren campos dispares como la medicina, la geofísica o la ciencia de los materiales. La formulación matemática de estos problemas da lugar a problemas difíciles de tratar, tanto analítica como numéricamente, y se han desarrollado técnicas muy sofisticadas para poder tratarlos. Uno de los ejemplos más espectaculares desde el punto de vista analítico es la resolución del problema de la conductividad local.

    Recientemente Kenig, Sjörstrand y Uhlmann revolucionaron las matemáticas relacionadas con la tomografía de impedancia eléctrica demostrando la unicidad en el problema inverso local de Calderon. Se trata de recuperar la impedancia eléctrica de un objeto desconocido con mediciones sobre sólo una parte accesible de la frontera. Matemáticamente sus argumentos introducen conceptos sofisticados del análisis armónico como estimaciones de Carleman, cuantización o el frente de ondas analítico de distribuciones.

   El profesor Mikko Salo de la Universidad de Helsinki, inaugura la Semana SIMUMAT sobre Problemas Inversos impartiendo un curso bajo el título “ Estimaciones de Carleman y el Problema Inverso de Calderon”. El profesor Mikko Salo es un experto en estos campos y ha contribuido al desarrollo de estas ideas, profundizando en ellas y extendiendo a otros problemas en los que se incluyen términos magnéticos o se reduce la regularidad a priori de los datos.

    Siguiendo en esta misma temática y para poder exponer el estudio de los Problemas Inversos desde el punto de vista teórico y el práctico, el jueves día 25 de octubre se organiza la IX Jornada SIMUMAT, que bajo el título "Problemas Inversos",  presentará una parte del espectro de esta temática con importantes investigadores internacionales y nacionales, así como miembros y colaboradores  del programa.

    Desde el punto de vista teórico se aborda la reciente revolución en este campo, motivada por la aplicación de técnicas novedosas del análisis armónico, que ha permitido establecer por ejemplo, resultados de unicidad a partir de mediciones locales.

    Desde el punto de vista práctico se pretende ilustrar parte de los distintos enfoques a la modelación numérica de distintos problemas inversos. El tema es complejo porque prácticamente de su definición se deduce que los problemas inversos son “ill-posed” en el sentido de Hadamard,  con lo que las ideas tradicionales del análisis numérico no funcionan.

    El programa cubre una variedad de situaciones de capital importancia en la teoría de problemas inversos como son la medicina, la invisibilidad en la teoría de scattering cuántico y problemas inversos en mecánica de fluidos. Matemáticamente las ecuaciones que gobiernan estos fenómenos son Navier-Stokes, leyes de conservación la ecuación de Schrödinger o la ecuación de la conductividad.  Sin embargo, el enfoque es completamente diferente al clásico.

Los ponentes serán los siguientes:

- Lassi Paivärintä  (Universidad de Helsinki)

- Mikko Salo (University of Helsinki)
   
- Carlos Castro (Universidad Politécnica de Madrid)

- Anna Doudova  (Universidad de Sevilla)

- Fabricio Macia (Universidad Complutense de Madrid)

    La guinda de esta semana, será la defensa pública de la tesis de Juan Manuel Reyes, que tendrá lugar el viernes 26 de Octubre en la Universidad Autónoma de Madrid. La tesis"Problema inverso de scattering para la ecuación de Schrödinger: reconstrucción parcial del potencial a partir de datos de retrodispersión en 2D y 3D", trata sobre la justificación matemática de la llamada tomografía de difracción y de la recuperación de las singularidades de un potencial cuántico, mediante la respuesta del potencial a la acción de una onda plana. Más específicamente, la tesis trata el caso de la retrodispersión, donde se mide la respuesta en la dirección opuesta a la de la onda incidente. Se demuestra que en dimensiones dos y tres se recupera hasta media derivada.

Más información en la página web del grupo SIMUMAT y en la del Grupo Problemas Inversos UAM

Daniel Faraco y Alberto Ruiz